בגרות 571 חורף 2026 – שאלה 7חקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 36
בגרות 571 · חורף 2026 · שאלה 7
שיעור 36 – בגרות 571 חורף 2026 – שאלה 7
פרק 4 – 10 בגרויות 571: חקירת פונקציה טריגונומטרית
1נוסח השאלה
2סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית
3סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
4סעיף ב (2) – נקודות קיצון
5סעיף ג – סקיצה של f(x)
6סעיף ד – ערכים של b
7סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)
8סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x)
9סעיף ו – סקיצה של g(x)
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה:
f(x) = (sin x)2 + cos x − 1
המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
f(x) = (sin x)2 + cos x − 1
המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
א. הוכיחו כי הפונקציה f(x) היא זוגית.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) + b .
b הוא פרמטר.
b הוא פרמטר.
📄 נוסח השאלה · המשך
נתון כי לפונקציה g(x) יש בדיוק שתי אסימפטוטות אנכיות.
ד. כתבו שני ערכים אפשריים של b , שאחד מהם חיובי והאחר שלילי.
הציבו בפונקציה g(x) את הערך השלילי של b שמצאתם, וענו על הסעיפים ה–ו.
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) .
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) , וקבעו את סוגן.
(2) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) , וקבעו את סוגן.
📄 נוסח השאלה · המשך
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) .
סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. צריך להראות ש־f(−x) = f(x) .
נציב −x במקום x :
📐 פונקציה זוגית
f(x) = (sin x)2 + cos x − 1
f(−x) = (sin(−x))2 + cos(−x) − 1
sin(−x) = −sin x
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
📐 זווית נגדית
📐 פונקציה זוגית
f(−x) = f(x)
לכל x בתחום סימטרי
לכל x בתחום סימטרי
📐 זווית נגדית
sin(−x) = −sin x
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
סעיף א – הוכחה ש־f(x) זוגית · המשך
cos(−x) = cos x
📐 זווית נגדית
f(−x) = (−sin x)2 + cos x − 1
ריבוע של מספר נגדי שווה לריבוע של המספר עצמו:
f(−x) = (sin x)2 + cos x − 1 = f(x)
✅ פתרון סופי: f(−x) = f(x) , ולכן הפונקציה זוגית ∎
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :
sin2x + cos x − 1 = 0
במשוואה יש גם סינוס וגם קוסינוס. כדי שתישאר רק cos x , נחליף את sin2x בעזרת הזהות היסודית:
sin2x + cos x − 1 = 0
sin2x = 1 − cos2x
📐 זהות יסודית
נציב sin2x = 1 − cos2x :
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x · המשך
נציב sin2x = 1 − cos2x :
1 − cos2x + cos x − 1 = 0
cos x − cos2x = 0
נוציא גורם משותף cos x :
cos x · (1 − cos x) = 0
מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x · המשך
מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1:
cos x = 0
cos x = cos π2
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = π2 + 2πk או x = −π2 + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x · המשך
בתחום −π ≤ x ≤ π מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
x = π2 , x = −π2
אפשרות 2:
1 − cos x = 0
cos x = 1
cos x = cos 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x · המשך
cos x = cos 0
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = 0 + 2πk
בתחום יש רק x = 0 .
בכל הנקודות האלה y = 0 , כי אלה נקודות על ציר ה־x .
✅ פתרון סופי: (−π2 , 0) , (0 , 0) , (π2 , 0)
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב (2) – נקודות קיצון
גזירה. גוזרים כל איבר בנפרד. את (sin x)2 גוזרים לפי נגזרת של חזקה:
[(sin x)2]′ = 2sin x · cos x
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
(cos x)′ = −sin x
📐 נגזרת של קוסינוס
הנגזרת של המספר 1 היא 0:
f′(x) = 2sin x cos x − sin x
בשני האיברים יש sin x . נוציא אותו כגורם משותף:
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
בשני האיברים יש sin x . נוציא אותו כגורם משותף:
f′(x) = sin x · (2cos x − 1)
השוואה ל־0. בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:
sin x · (2cos x − 1) = 0
📐 נקודת קיצון
מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1:
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 1:
sin x = 0
x = 0 + 2πk או x = π + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
בתחום −π ≤ x ≤ π :
x = −π , x = 0 , x = π
אפשרות 2:
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
אפשרות 2:
2cos x − 1 = 0
cos x = 12
cos x = cos π3
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = π3 + 2πk או x = −π3 + 2πk
בתחום מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
בתחום מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
x = π3 , x = −π3
קביעת סוג הנקודות. נסמן על ציר את הנקודות. הנקודות ±π הן גם קצות התחום. נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(−π2) = sin(−π2) · (2cos(−π2) − 1)
f′(−π2) = (−1) · (0 − 1) = 1 > 0
f′(−π6) = sin(−π6) · (2cos(−π6) − 1)
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
f′(−π6) = sin(−π6) · (2cos(−π6) − 1)
f′(−π6) = −12 · (√3 − 1) ≈ −0.37 < 0
f′(π6) = 12 · (√3 − 1) ≈ 0.37 > 0
f′(π2) = 1 · (0 − 1) = −1 < 0
שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה:
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה:
f(x) = (sin x)2 + cos x − 1
נציב x = π3 :
f(π3) = (sin π3)2 + cos π3 − 1
sin π3 = √32
📐 ערכים מיוחדים
f(π3) = (√32)2 + 12 − 1
📐 ערכים מיוחדים
sin π3 = √32
cos π3 = 12
cos π3 = 12
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
f(π3) = (√32)2 + 12 − 1
f(π3) = 34 + 12 − 1 = 14
נציב x = 0 :
f(0) = (sin 0)2 + cos 0 − 1
f(0) = 0 + 1 − 1 = 0
נציב x = π :
סעיף ב (2) – נקודות קיצון · המשך
נציב x = π :
f(π) = (sin π)2 + cos π − 1
f(π) = 0 + (−1) − 1 = −2
הפונקציה זוגית (סעיף א), ולכן:
f(−π3) = 14 , f(−π) = −2
✅ פתרון סופי: מקסימום (−π3 , 14) , (π3 , 14) ; מינימום (0 , 0) ; מינימום קצה (−π , −2) , (π , −2)
סעיף ג – סקיצה של f(x)
מסמנים את נקודות החיתוך מסעיף ב (1) ואת נקודות הקיצון מסעיף ב (2), ומחברים לפי החצים בציר. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית):
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – ערכים של b
אסימפטוטה אנכית של g נמצאת איפה שהמכנה מתאפס (והמונה 1 לא מתאפס):
f(x) + b = 0
f(x) = −b
כלומר: צריך שהישר האופקי y = −b יחתוך את הגרף של f מסעיף ג בדיוק בשתי נקודות. נעזר בסקיצה:
• הישר y = 14 (בירוק) נוגע בגרף רק בשתי נקודות המקסימום. שתי נקודות ✓
סעיף ד – ערכים של b · המשך
• הישר y = 14 (בירוק) נוגע בגרף רק בשתי נקודות המקסימום. שתי נקודות ✓
−b = 14 ⇒ b = −14
• כל ישר y = −b בגובה −2 ≤ −b < 0 , למשל y = −1 בכתום, חותך כל צד של הגרף פעם אחת. שתי נקודות ✓
−2 ≤ −b < 0 ⇒ 0 < b ≤ 2
למשל b = 1 .
• בגובה 0 < −b < 14 יש ארבע נקודות, בגובה 0 שלוש נקודות, ומעל 14 או מתחת ל־−2 אין נקודות. אלה לא מתאימים.
סעיף ד – ערכים של b · המשך
• בגובה 0 < −b < 14 יש ארבע נקודות, בגובה 0 שלוש נקודות, ומעל 14 או מתחת ל־−2 אין נקודות. אלה לא מתאימים.
✅ פתרון סופי: שלילי: b = −14 ; חיובי: למשל b = 1 . מתאים כל b בתחום 0 < b ≤ 2
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)
נציב b = −14 :
g(x) = 1f(x) + b
g(x) = 1f(x) + (−14) = 1f(x) − 14
אסור שהמכנה יהיה 0:
f(x) − 14 ≠ 0
f(x) ≠ 14
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x) · המשך
f(x) ≠ 14
לפי סעיף ב (2) והסקיצה, f(x) = 14 רק בשתי נקודות המקסימום x = ±π3 .
✅ פתרון סופי: −π ≤ x ≤ π , x ≠ ±π3
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x)
נסמן את המכנה ב־u(x) , ואז g = 1u :
u(x) = f(x) − 14
הגרף של u הוא הגרף של f מוזז 14 למטה.
📐 הזזה אנכית
המקסימום של f הוא 14 , ולכן אחרי ההזזה המקסימום של u הוא 0. כלומר u ≤ 0 , ו־u = 0 רק ב־x = ±π3 .
כש־u שלילי ועולה, 1u יורד, וכש־u יורד, 1u עולה.
📐 הפונקציה 1 חלקי u
ל־u יש בדיוק אותה עלייה וירידה כמו ל־f (הזזה לא משנה עלייה וירידה). לכן נקרא מהציר של סעיף ב (2), בצד הימני 0 ≤ x ≤ π :
📐 הזזה אנכית
הגרף של f(x) − c זז c יחידות למטה
📐 הפונקציה 1 חלקי u
בתחום שבו u לא מחליפה סימן, העלייה והירידה מתחלפות: מינימום של u הוא מקסימום של 1u
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x) · המשך
ל־u יש בדיוק אותה עלייה וירידה כמו ל־f (הזזה לא משנה עלייה וירידה). לכן נקרא מהציר של סעיף ב (2), בצד הימני 0 ≤ x ≤ π :
• בתחום 0 < x < π3 : f עולה, ולכן g יורדת אל −∞ ליד האסימפטוטה.
• בתחום π3 < x < π : f יורדת, ולכן g עולה מ־−∞ עד הקצה.
ב־x = 0 יש ל־f מינימום, ולכן ל־g יש מקסימום. ב־x = π יש ל־f מינימום קצה, ולכן ל־g יש מקסימום קצה.
שיעורי ה־y. מציבים ב־g את הערכים של f מסעיף ב (2):
g(x) = 1f(x) − 14
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x) · המשך
g(x) = 1f(x) − 14
נציב f(0) = 0 :
g(0) = 10 − 14 = 1−14 = −4
נציב f(π) = −2 :
g(π) = 1−2 − 14 = 1−94 = −49
הפונקציה g זוגית, כמו f , ולכן גם (−π , −49) מקסימום קצה.
סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x) · המשך
הפונקציה g זוגית, כמו f , ולכן גם (−π , −49) מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −4) ; מקסימום קצה (−π , −49) , (π , −49)
סעיף ו – סקיצה של g(x)
מה שמצאנו: הגרף כולו מתחת לציר ה־x , כי u ≤ 0 . אסימפטוטות אנכיות x = ±π3 , ולידן g → −∞ .
מ־(−π , −49) הגרף יורד אל −∞ . בין −π3 ל־π3 הוא עולה מ־−∞ עד (0 , −4) ויורד שוב. מימין הוא עולה מ־−∞ עד (π , −49) .
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הוכחה
סעיף ב (1)
(0 , 0) , (±π2 , 0)
סעיף ב (2)
מקס. (±π3 , 14) ; מינ. (0 , 0) ; מינ. קצה (±π , −2)
סעיף ג
סקיצה
סעיף ד
b = −14 ; 0 < b ≤ 2 , למשל b = 1
סעיף ה (1)
x ≠ ±π3
סעיף ה (2)
מקס. (0 , −4) ; מקס. קצה (±π , −49)
סעיף ו
סקיצה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא